학년별 수학 가이드북(십대들이여, 수학에 올인하라_조안호)

"우리나라에는 종적연구 자료가 없어 잘못된 정보가 판치고 있다." p.19

 

 어떻게 수학을 공부해야 수학을 잘하게 되는지 보기 위해 한 학생을 가르치며 어떤 방식이 효과가 있는지 수년간 연구해야 한다. 시간의 흐름에 따라 학생을 끝까지 연구하는 것이 '종적연구'이다.

 

 하지만 우리나라는 한 학년을 대상으로 수학 학력평가시험을 실시하는데 이는 한 학생을 오래 보는 것이 아닌 한 학년 모두를 대상으로 하는 '횡적연구'이며, 이는 계통성이 강한 수학에서는 큰 의미를 갖지 못한다.

 

 그래서 이 책은 학년별로 어떻게 공부해야 하는지 종적인 연구물을 제시함으로써 수학공부법 관련 이야기를 풀어나간다.

 

 

1. 초등수학 사용설명서

초등학교 과정에서 중요한 능력 두 가지는 '연산력'과 '사고력'이다. 자연수 범위에서의 덧셈뺄셈부터 시작해서 분수의 사칙연산까지. 연산의 모든 것이 이뤄져야 한다.

 

 보통 자릿수가 커지면 아이들은 어렵다고 느낀다. 하지만 우리는 다들 알듯이 어려운 것 보다도 귀찮은 것이고 숫자가 커지면 실수할 확률이 커지므로 틀리는 것에 대해 기본적으로 두려움이 있는 아이들은 무섭고 힘들게 느끼는 것이다.

 

 따라서 초등학교 수학은 일단 아이가 두려움이 없이 '하게끔' 만드는 것이 중요하다. 아이에게도 맞지 않는 높은 난이도로 학습할 필요가 없다. 학생에게 맞는 난이도로 거부감이 없을 정도로 시작해야 한다. 점차 아이가 흥미를 느껴한다면 조금 더 높은 수준의 문제를 풀면 되는 것이고, 흥미가 생기지 않는다면 적당한 난이도로 문제를 조정하여 풀게 해야 한다.

 

 혹시 문제가 너무 쉬워서 아이가 지루하게 느낀다면 조금 더 노력이 필요한 문제를 풀리면 된다. '효율적'으로 접근하기보다 이 단계에서는 '효과적'으로 접근해야 한다. '잘하게' 하는 것보다 그냥 '하게'만드는 것이 중요한 시기이다.

 "아이에게 '빨리'라는 말을 빼자. 그리고 효율에서 벗어나 효과만 생각한다면 현재 공부법에 많은 변화를 줄 수 있을 뿐만 아니라 부모자식 간의 불화를 막을 수 있다." p.63

 

 연산력 다음으로는 '사고력'을 길러야 한다. 사고력은 본인의 실력보다 조금 더 높은 난이도의 문제를 풀며 생기게 된다. 이때 중요한 것은 빨리 문제를 풀고 넘어가는 게 아닌 확실하게 논리적으로 풀어야 하며 문제를 다 풀고 누군가에게 설명할 수 있을 정도로 본인의 풀이가 정리되어야 한다.

 많은 학원들에서 초등 저학년 대상으로 사고력수학을 진행하는 학원이 있다. 물론 사고력은 수학문제를 푸는 데에 매우 중요한 열쇠가 되지만, 한 가지 간과하고 있는 건 연산력이 아직 미흡한 아이가 사고력수업만 듣는 불상사가 발생하고 있다는 점이다.

 

 보통 초등 1,3,5 학년에는 집중적인 연산연습을 하고 2,4,6 학년에는 연산을 활용하고 개념을 확장하는 시기이다. 따라서 홀수학년일 때에는 '연산력'을 집중적으로 연습하는 시기로 하고 짝수학년일 때에는 '사고력'을 집중적으로 연습하는 시기로 잡는 것이 좋은 방법이 된다.

 

"연산력 향상 없이 사고력만 갖춘 아이들은 모두 수학을 포기하게 되어 사례 자체가 존재하지 않는다." p.88

 

 연산력과 사고력이 어느 정도 키워진 학생에 대해서는 선행을 진행해도 괜찮은가에 대한 고민도 많다. 물론 학생이 모든 초등개념을 끝내고 심화문제집까지 어느 정도 풀 수 있는 상태가 된다면 선행을 하는 것이 좋다. 이때 조심해야 할 것은 '가장 좋은 선행은 두 번 하지 않는 선행'임을 염두에 두고 있어야 한다.

 

 기본적으로 선행학습을 할 때에 중요한 것은 개념을 확실히 알고 넘어가는 것이다. 단순히 유형별 문제풀이법만 알고 넘어가면서 개념에 구멍이 생기기 시작한다면 새로운 유형의 문제를 맞닥뜨렸을 때에 당황하며 어떻게 접근해야 하는지 몰라 문제가 발생한다. 그러므로 선행을 하게 된다면 빨리빨리 진도를 나가려는 선행이 아닌 천천히 개념을 하나하나 곱씹으면서 선행을 진행하도록 하자.

 

"필요한 것을 시키고 나서 과제집착력이 있는 아이는 얼마든지 선행을 해도 좋으나 먼저 기술이 아닌 개념을 가르치는 선생님을 찾는 것부터 시작하라." p.130

 

 

2. 중학수학 사용설명서

 

 초등학교에서 기본적인 연산과 사고력을 길렀다면, 중학수학에서 가장 중요한 것은 대수에 대한 이해, 수식에 대한 완벽한 이해이다. 'x'나 'y'같은 문자들이 나오기 시작하며 학생들이 이를 보고 무서워하기 시작한다.

 이때부터 기본적으로 암기해야 할 양이 늘어난다. 보통 수학은 이해의 학문이라고 하여 이해만 하고 넘어가려는 경향을 보이는데 이해 후에 암기는 필수다.

 중학교 3학년 과정에서 다항식의 연산과 인수분해, 그리고 이것을 응용한 이차방정식이 나오는데 기본적인 곱셈공식 암기가 되어있지 않으면 문제를 풀어가기가 힘들다.

 물론 아무 이해도 없는 채 암기만 하는 것은 좋지 않다. 기본적으로 공식을 스스로 유도해 본 후에 꼭 암기의 과정으로 넘어가야 공부했다고 할 수 있다. '이해->암기'의 순서를 꼭 지켜야 함을 명심해야 한다.

 중학교 시험성적은 곧잘 나오고 항상 상위권에 있던 학생이 고등수학을 시작하면서 급격히 점수가 나오지 않는 일이 발생한다. 지금 일하는 학원에서도 중3까지는 다른 학원 TOP반에서 수업을 들었던 아이가 고등선행을 하는 중인데 잘 따라오지 못하는 학생이 있다. 이런 학생들의 특징은 개념에 대한 이해가 없이 문제 푸는 방법, 즉 유형만 외웠기 때문이다.

 중학수학에 나오는 공식을 암기만 하는 경향이 다분하다. 근의 공식도 무작정 외우기만 할 것이 아니라 스스로 유도해봐야 하고 피타고라스 정리도 여러 가지 방법으로 증명하는 방법을 스스로 유도해봐야 한다.

 아무것도 쓰여있지 않은 백지에 근의 공식을 유도하는 공부법으로 사고력이 길러지며 문제집의 한 문제를 푸는 것보다 훨씬 좋은 이득을 얻을 수 있다.

 문제집은 적당한 난이도의 문제집(쎈, 혹은 RPM)을 선정하여 반복해서 풀고 어려운 문제가 나왔을 때 끝까지 고민해 보며 물고 늘어지는 힘이 필요하다. 답지는 최대한 멀리하고 개념을 찾아보며 어떤 개념이 쓰이는지를 스스로 확인할 수 있어야 한다. 보통 문제집의 앞에 개념설명이 되어있는데 앞에 쓰여있는 개념을 보고 문제가 풀린다면 개념이 부족한 것이니 개념정리를 한번 더 하고 개념을 봐도 모르겠다면 문제해결력이나 응용사고력이 부족한 것이니 이 부분을 기르기 위해서는 끝까지 문제를 물고 늘어져야 한다. 이때 수학실력은 월등히 향상되게 된다.

 강사나 공부를 도와주는 학부모 입장에서도 아이가 모르는 부분이 있다면 답에 대한 힌트를 주는 게 아니라 개념을 다시 한번 설명해줘야 하고 답을 말해주기보다 답으로 가기 위해 어떻게 생각해 나가야 하는지 그 길로 가게끔 유도해야 한다.

"어려운 문제가 실력을 높여주는 것은 아니며 끈질기게 물고 늘어지는 과제집착력이 필요하다. 어차피 실력이 목적이 아니기에 전부 풀려고 하는 것이 아니라 답이 틀리더라도 끝까지 해보는 데 의의를 두기 바란다." p.153

 

 정리해 보면,  평소에는 적당한 난이도의 문제를 꾸준하게 푸는 것이 가장 중요하고 공식은 이해 후에 암기해야 한다. 그리고 하루에 한 문제라도 어려운 문제를 시도해 보면서 과제집착력을 늘려야 할 중요한 시기이다.

"중학교에서 가장 좋은 공부법은 학습지로 하루에 10분 정도 연산력을 기르면서 개념을 이해하고 중간정도 난이도의 문제집을 통해서 개념을 확인하는 작업을 반복하는 것이다. 그리고 하루에 한 문제 정도만 어려운 문제에 도전하는 것이다." p.155

 

 

3. 고등수학 사용설명서

 

 고등수학부터 난이도가 급격하게 올라간다. 새로운 기호들이 많이 나온다. 이는 보통 중학교 수식의 확장이며 계통성이 아주 강한 수학의 특성상 중학교 수학이 제대로 되어있지 않으면 고등수학을 제대로 따라가기가 버겁다.

 

 그래서 고등수학의 공부량은 다른 과목의 50배~100배 정도 된다. 개념을 이해하는데도 많은 시간이 걸리기 시작하며 이 개념을 적용하는 연습을 하는 것도 많은 시간이 필요하다. 그래서 고등학교 때는 다른 과목을 공부하는 시간 외의 모든 시간을 수학공부에 쏟아야 한다.

 

 평소에 공부를 안 하다가 갑자기 수학공부를 하는 것, 즉 벼락치기 공부는 중학교 때까지는 통했겠지만 고등학교 때는 절대 먹히지 않는다. 평소에 수학실력을 쌓아가지 않는다면 시험 당일에도 절대 풀 수 없는 문제들이 널려있을 것이다. 가장 중요한 것은 하루도 빠짐없이 수학공부를 하는 것이 중요하다.

 

 개념을 이해하고 많은 문제에 적용하는 연습이 매우 필요하다. 특히 고등학교 3학년 이전에 고3 과목까지 끝내는 것도 좋은 전략 중에 하나이다. 수능이 11월인데 수학의 모든 교육과정이 9월에 끝나게 된다. 미리 공부하지 않고 수능을 보게 된다면 마지막 미적분이나 기하, 확률과 통계는 겨우 연습할 수 있는 시간이 2달 남짓이라 미리 해놓는 것이 좋다. 고등학교 3학년은 여유로워야 한다.

 

"고3에서 바쁘면 고득점은 끝난 것이다." p.260

 

 중학교때와 마찬가지로 개념을 공부하고 개념을 문제에 적용하는 연습을 해야 한다. 적당한 난이도로 개념을 적용하는 것을 연습하고 기출문제를 풀며 개념이 어떻게 쓰였는지 하나하나 꼼꼼하게 확인하고 넘어가야 한다. 특히 수능이나 모의고사의 4점 킬러문제들은 꼭 잘근잘근 씹어먹어야 한다.

 

 어려운 문제도 마찬가지로 끝까지 물고 늘어져야 한다. 문제를 오래 보고 있다 보면 저절로 외워지게 되는데 이렇게 된다면 걸어 다니거나 밥을 먹을 때도 그 문제가 생각나게 된다. 이렇게 충분히 고민해 보는 동안 문제는 풀릴지 않더라도 사고력은 점점 커지고 결국 수능장에서 어려운 문제를 풀어낼 수 있다.

 

  수능에선 쉬운 문제를 제외하고 어려운 4점짜리 문제들은 완전 처음 보는 형태로 변장하고 문제가 출제된다. 결국 수능은 사고력과 문제해결력의 싸움이며 처음 보는 문제도 풀 수 있을 정도로 연습이 되어있어야 하며 그 연습은 앞서 말했던 '과제집착력'이 결정한다.

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 결국 중요한 것은 '혼자 고민하는 시간'이다. 혼자 고민하는 시간을 늘려 사고력과 문제해결력을 키우고 전혀 풀리지 않을 때에는 선생님이나 답지의 힘을 빌려 어느 부분에서 생각하지 못했는지를 꼭 짚고 넘어가자. 그 부분이 개념이라면 개념을 다시 한번 꼼꼼하게 정리하고 넘어가자.

 "수학의 최종 목적은 사고력을 키워서 문제해결력을 높이는 데 있다고 하였다. 이것을 해결하기 위한 기초단계로 초등수학은 수와 연산, 중학수학은 수식, 고등수학은 다양한 수식의 확장이라는 3단계를 거친다." p.141

"돈으로 공부는 시킬 수 있어도 아이에게 생각하게 할 수는 없다. p.269"