수(數)의 새로운 정의 - 프레게

 우리는 너무나도 당연하게 수학은 확실한 학문이고 절대 틀릴 수 없는 학문이라고 생각한다. 1+1 = 2라는 것을 아무도 부정할 사람은 없다. 하지만 독일의 수학자이자 철학자 프레게는 수학도 역시 경험적인 학문이라고 주장하며, 논리학과 같이 새로운 정의를 통해 확실하게 해야 한다고 주장했다.

 

 프레게는 수를 다시 정의해야 한다고 말한다. 100+100=200이라는 것을 알지만, 진짜 200이 되는지 확인할 수 있는 방법은 경험적인 방법밖에 없으며 수학도 곧 경험적인 학문이라는 것이다. 논리학은 동일률, 배중률, 모순률을 기초로 정의해나가며 필연적으로 참인 명제를 도출하고 검증한다. 논리학은 우리가 경험하지 않아도 생각으로만 필연적인 참을 유도할 수 있는 것이다. 따라서 프레게는 수를 논리학처럼 정의해서 경험적이지 않은 완벽한 학문으로 만들고 싶어 했다.

 

 우리는 수를 볼 수 없다. 예를들어, 아라비아 숫자 '2'모양도 숫자 2를 나타내고, 손가락 두 개도 '2'를 나타내고, 신발 한 켤레의 신발 수도 '2'를 나타내는 등, 우리가 수를 직접 볼 수 없기 때문에 수가 나타나는 방법도 다양하다. 프레게는 이 수들을 집합의 집합으로 정의해야 한다고 말한다. 즉, 2 = {{2}, {신발 한 켤레의 개수|,{검지와 중지를 편 손가락 개수},...}등등 2라는 수를 집합들의 집합으로 표현해야 한다고 주장했다.

 

 사실 지금 들으면 터무니없는 말 처럼 들린다. 실제로 프레게의 위와 같은 노력들이 지금은 실패한 학문이라고 알려져 있다. 하지만 프레게처럼 익숙한 것을 다른 관점에서 바라보고 새로운 정의를 내리려는 시도와 노력을 했다는 것만으로도 대단하다고 생각한다.